La catenaria è la curva che si ottiene fissando a due estremi una catena (o una fune omogenea), soggetta alla sola forza di gravità. Assomiglia molto alla curva di una parabola.
Meno spanciata, più a cuspide di equazione:
y(x) = k*cosh(x/k)
dove k è la distanza del vertice della catenaria al manto stradale, cosh è il coseno iperbolico
Lo sviluppo dell’arco (lunghezza della catenaria) in funzione dell’ascissa x è espresso dalla formula:
L(x) = k * senh(x/k)
Mentre la tensione sulla fune in funzione di x è data dalla formula:
T(x) = p * k * cosh(x/k) dove p è il peso per unità di lunghezza della fune
H + k = k * cosh(L/k)
Esempio
p= 2 N/m
L= 4.0 m
H= 8.0 m
(le formule sono state prese da un sito di ingegneria.)
Qualche volenteroso può risolvere tutte le equazioni semplicemente con Excel.
I ponti sospesi sfruttano tutti il medesimo principio della catenaria. L’importante è poter «sollevare» la catenaria portante per ottenere un rapporto freccia / luce tra 1/10 e 1/12. Per il ponte di Messina è stato scelto 1/11.
La situazione è sempre la stessa: dei grandi cavi di sospensione fatti in acciaio ad alta resistenza che si estendono longitudinalmente tra due blocchi di ancoraggio e sono sorretti da due torri.
Da questi cavi partono verso il basso i pendini che sorreggono l’impalcato. Tutti i ponti sospesi di grande luce del pianeta sono fatti in questo, identico modo.
Hanno tutti due torri e un’impalcato con due grandi cavi di sospensione. La scelta della dimensione, decisa in base al luogo dove il ponte deve essere realizzato, non cambia il principio fondamentale di funzionamento di queste strutture.
Le attuali tecnologie permettono di realizzare una campata centrale di circa 5 km di lunghezza prima di arrivare alla luce critica.
Per il ponte di Messina è stata scelta una campata di poco più di 3 km per evitare di mettere le torri in acqua, cosa quasi impossibile nello stretto di Messina.
A dirla tutta le prestazioni del manufatto aumentano al crescere delle sue dimensioni: più il ponte è grosso, meno risente del transito dei carichi e dei terremoti in quanto si riduce la deformabilità della struttura. È intuitivo, nonché verificabile sui ponti sospesi già esistenti. Quelli più grandi sono anche quelli più stabili a parità di generazione. Non a caso quando le dimensioni non sono sufficienti, in genere entro 1,5 km di luce, è bene ricorrere allo schema misto con stralli in caso di transito ferroviario.
Un ponte di luce 3300 m è ideale per il transito dei treni. Passando (ad esempio) da 1650 a 3300 metri di luce il peso strutturale triplica, mentre quello dei treni rimane invariato; quindi, è come se i treni pesassero un terzo.
Più il ponte è grosso, meno il traffico influisce. A partire dai 1300 m di luce, i ponti sospesi sono strepitosi.
Il coefficiente di abbassamento ‘q’ diventa insignificante e c’è una riduzione dell’abbassamento al crescere della luce L.
I vantaggi non sono solo per la ferrovia e le auto, ma anche per il montaggio (il cavo si abbassa di meno, minori distorsioni da compensare).
Per finire due domande e due risposte.
1 – Cosa sono il seno e coseno iperbolico.
2 – Perché vengono rappresentate con funzioni trigonometriche.
1) senhx = ( ex – e-x )/2
coshx = ( ex + e-x )/2
2) Le funzioni trigonometriche “classiche” sen x e cos x, ci forniscono le coordinate dei punti della circonferenza di raggio unitario x 2+y 2 = 1, le nuove funzioni senh x e cosh x ci forniscono le coordinate dell’iperbole equilatera di asintoti le bisettrici, di equazione x2 − y2 = 1.
Bruce 