Punti di Lagrange

asteroide-troiani-340x255Oggi mi va di parlare dei punti di Lagrange. Mi gira così. Ma per carità non vuole essere un insegnamento (ma forse lo è, chissà). Non ho questa volontà e pretesa, lo faccio per mia informazione e per colmare una mia lacuna in questa materia e per il mio cane che mi segue fedelmente.

In realtà ad incuriosirmi è stato un articolo di Media Inaf :  Urano ha il suo bel “troiano”.

Un “cucciolo” d’asteroide di appena 60 km di diametro, la cui fedeltà gravitazionale al gigante gassoso va avanti da qualche centinaio di migliaia di anni. Era convinzione degli astronomi che a Urano fossero preclusi, vista la concorrenza di vicini dannatamente attraenti (in termini gravitazionali) del calibro di Nettuno o Giove.
Stando alle simulazioni, QF99 dovrebbe tenere compagnia a Urano ancora per un milione di anni, prima di svincolarsi dal guinzaglio gravitazionale Li hanno Marte, Giove, Nettuno.

Anche la nostra Terra che non vuole essere seconda a nessuno ha il suo bravo “troiano”. Non è una parolaccia.

Per troiano si intende un asteroide o gruppi di asteroidi che condividono la stessa orbita di un pianeta maggiore. Senza scontrarsi.

Fantastico, penserete. Come mai?
Beh la cosa è facile da capire, ma difficile da spiegare.
In due parole (forse anche in quattro) diciamo che un corpo (un asteroide, per esempio) viene a trovarsi in equilibrio gravitazionale in determinate posizioni nello spazio tra il pianeta ed il Sole. In questi punti è nulla la risultante tra l’attrazione gravitazionale complessiva esercitata da questi due corpi celesti.
In realtà c’entrano di mezzo la forza centripeta e anche la forza di Coriolis, ma di queste ultime ne riparleremo un’altra volta.

Questi punti di equilibrio vengono chiamati “punti di Lagrange”. Sono 5: L1, L2, L3, L4, L5.
Tre di essi (L1, L2, L3) giacciono sulla stessa retta dei due corpi maggiori, uno compreso tra essi (L3) e due esterni (L4,L5). I due punti (L4, L5) sono collocati sull’orbita del pianeta di massa minore (tra i due maggiori), uno in anticipo e l’altro in ritardo di 60° rispetto a questi, le rette immaginarie che congiungono i pianeti formano quindi due triangoli equilateri.

La figura chiarisce meglio il concetto.
Lagrange

Questo è quello che dicono tutti e che troviamo su ogni sito che si rispetti – mi osserva il mio sapientone di cane – Piuttosto, se lo sai, perchè non mi dici come si fa a calcolare le posizioni di tali punti di equilibrio.

Non so se è una provocazione bella e buona, o volermi mettere alla prova. Non ho scelta. Accetto la sfida.
E così mi metto in giro per il web in cerca di aiuto. Ma trovo solo nozioni che già conoscevo o cose (calcoli matematici) che non sono alla portata di tutti e non possono essere raccontate su un blog. Così decido di andare avanti da solo con qualche spunto preso qua e là e di qualche mio vecchio libro liceale. Speriamo bene.

Il risultato non è assicurato. Gli astrofisici, comunque, sono avvisati, possono continuare ad andare avanti tranquillamente con i loro calcoli.

Ok. Il ragionamento parte da una semplice considerazione: mettere giù una espressione matematica che rappresenti l’equilibrio gravitazionale tra le masse e la forza centrifuga.

Cominciamo.
Distanza del punto L1 L1 Consideriamo il sistema formato dal Sole di massa M, la Terra di massa m e l’asteroide (o un satellite artificiale) di massa ma. Le forze che entrano in gioco sono la legge di attrazione gravitazionale e la forza centrifuga della Terra nella sua rotazione attorno al Sole.

Le due forze devono essere in equilibrio.
F1 = G (Mm ) / R2 F2 =  m v2 / R
Dove G è la costante gravitazionale universale
M = la massa del Sole
m = la massa della Terra
R = la loro distanza
v = la velocità orbitale della Terra

Quindi per l’equilibrio delle forze:
G (Mm )/ R2  = m v2 / R                      formula 1)

Fin qui ci siamo? Ok.
Ora torniamo al nostro asteroide di massa ma che ruota attorno al Sole con velocità tangenziale va.
La sua distanza dal Sole sarà (R – d)
dove d è la distanza Terra/asteroide.

La forza F1  che l’attrae verso il Sole sarà diminuita della forza esercitata dalla Terra. Mentre la forza centrifuga dell’asteroide risulta:
F2 = ma v2a / ( R- d )

Si ottiene così l’equilibrio

G (M ma ) / (R – d)2  –  G ( m ma ) / d2  = ma v2a / ( R- d )              formula 2

La distanza di equilibrio si ottiene risolvendo questa equazione di secondo grado rispetto a “d”. Gli altri valori sono noti. Basta eliminare va  inserendo il suo valore.

Troppo complicato, vero? Giusto, ve lo assicuro.
Allora  facciamo un pò di alchimia matematica. Supponiamo che l’asteroide percorra una traiettoria circolare di raggio (R – d).
Dalla cinematica la sua velocità tangenziale vale:

va = ω (R-d)
dove:  ω = 2 π / T va  =  2 π (R-d) / Ta
(Ta è il periodo orbitale dell’asteroide, ovvero l tempo impiegato a compiere una intera orbita).

Che possiamo anche scrivere elevando tutto al quadrato:
v2a = 4 π2
(R-d)2 / T2a
che sostituita nelle formula 2) otteniamo

GM ma / (R – d)2  –  Gm ma / d2  = ma v2a / ( R- d )

Con alcune semplici semplificazioni: (mettendo in comune e eliminando ma , e dividendo per (R-d), si ottiene:

GM/ (R – d)  –  Gm (R-d) / d2  =  v2a = 4 π2 (R-d)2 / T2a

Dividendo tutto per (R-d) otteniamo una cosa interessante.

GM / (R–d)3 – Gm / d2(R–d)  =  4π2 / T2a                                        formula 3)

Fin qui ci siete ancora? Bene, allora, andiamo avanti per quelli che hanno resistito e non sono scappati via. Queste cose mantengono allenata la mente.

Vi ricordate la formula 1)?
Con altri semplici  passaggi matematici che vi risparmio (che tengono conto delle formule già sopra elencate) diventa:

GM/ R =4 π2 R2 / T2

Dividiamo per R2 :

GM/ R3  = 4π2/T2                                 formula 4)

Vi dice niente questa espressione?
Per caso abbiamo trovato la somiglianza alla “terza legge di Keplero” se scambiamo i termine (T2 / R3 = K).

Ora facciamo una considerazione fondamentale.
L’asteroide è in equilibrio con la Terra soltanto se Ta = T.         ( ovvero Terra e asteroide hanno lo stesso periodo.)
La formula 3) diventa:

GM / (R–d)3 – Gm / d2(R–d)  =  4π2 / T2

Ovvero:

GM / (R–d)3 – Gm / d2(R–d)  =  GM/ R3                      formula 5)

Se dividiamo per GM otteniamo una espressione che tiene conto esclusivamente il rapporto tra la massa del Sole e quella della Terra (m/M).

Ancora un piccolo sforzo che siamo quasi vicini alla soluzione del nostro problema.
Poniamo y = m/M = 3/1·000·000     (rapporto delle loro masse)

La 5) diventa dividendo  per GM e poi moltiplicando per R3:

1 / (R–d)3 – y / d2(R–d)  =  1 / R3 R3/(R–d)3 – y R3/d2(R–d)  =  1

Facciamo un altro passo avanti ponendo z = d/R
Otteniamo la nostra equazione:

1/(1-z)3 – y/z2(1-z) = 1                                           formula 6)

Tuttavia anche questa equazione di terzo grado in funzione di z è di difficile risoluzione.
Per semplificare ulteriormente le cose sono andato a spolverare e scomodare vecchie regole sulle approssimazioni (Teoremi Binomiali).

Non commettiamo un grande errore se facciamo queste approssimazioni.
1/(1-z)3  =  1 + 3z
y/z2 (1-z) = y/z2 (1+z)

Quindi sostituendo nella formula 6)
1 + 3z  – y/z2 (1+z) = 1 3z = y/z2 (1+z) 3z3 = y(1+z)

Trascuriamo ulteriormente il piccolo valore di (1+z)
Si ottiene:

3z3 = y

Ma sappiamo che y = m/M = 3/1·000·000

Ed eccoci FINALMENTE arrivati alla conclusione.
3z3 = m/M = 3/1.000.000

z3 = 1/1.000.000

Estraendo la radice cubica:

z = 1/100 = 0,01
z = d/R = 0,01

La distanza di L1 dalla Terra è di circa un centesimo (1/100) della distanza del Sole. Ovvero approssimativamente a 15000 km di distanza dalla Terra.

FINE

Spero che il mio cane sia soddisfatto di questa dimostrazione.

Ora se qualcuno di voi, di buona volontà, ha voglia di passare un po’ di tempo può ritornare alla equazione 3z3 = y(1+z) e sostituire z con il valore trovato e ricavare y = m/M.

L2
La risoluzione dell’altra distanza lagrangiana L2 dal lato opposto alla Terra è simile e la lascio ai volenterosi. Lascio ai volenterosi anche il calcolo di L3. Risparmiatemi altre faticacce.

La prossima puntata sarà dedicata al calcolo di L4 e L5. Ma come dice un mia ex lettrice: non costringo nessuno a seguirmi. Tranne il mio cane.

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 asteroide-troiani-340x255
La terra ha un troian
Già, proprio il nostro pianeta. A condividerne l’orbita   attorno al Sole, e per l’esattezza a precederci di circa due mesi (60 gradi),   c’è 2010 TK7, questo il nome del nostro nuovo compagno di viaggio: un   asteroide dalle dimensioni di tutto rispetto – circa 300 metri – che oscilla   attorno al cosiddetto L4, uno dei punti con una particolare posizione nella   orbita chiamati lagrangiani.
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Informazioni su bruce

Ingegnere. Io sono responsabile di quello che dico, non di quello che capisci tu. (Massimo Troisi)
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12 risposte a Punti di Lagrange

  1. Rebecca Antolini ha detto:

    Buongiorno quando ho letto il titolo da questo post “punti di lagrange” ho pensato subito che sia un motivo dei lavori a maglia della tua moglie 😆 … ma non e cosi
    ora vedo qui formule di matematica che mi fanno venire un forte ma di testa.. qui non capisco proprio niente cosi ti abbraccio e ti auguro una buona giornata 😉

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  2. bruce ha detto:

    Ah ah ah te ne sono grato ugulamente cara Rebecca.
    Stiamo allestendo un sito dove metteremo anche i flmati. Per ora li abbiamo messi su una tv nel negozio per insegnare i primi “punti” per il lavoro a maglia.

    Per il post, lo so che è complicato, ma quel cagnaccio di Bleff mi ha provocato.
    Buona giornata

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  3. MARGHIAN ha detto:

    “In due parole (forse anche in quattro) 🙂
    Naturalmente anche la Terra e la Luna hanno i 5 punti lagrangiani (calcolabili come sopra). Ho seguito con interesse anche i passaggi matematici, comprendendone una parte , ma quanto basta per dire che e’ interessantissimo, come i corpi celesti interagiscono fra loro; come le forse di diverso tipo -vedi gravita’ e velocita’ orbitali- creino queste meccaniche stupende.

    A proposito di “troiani”, forse non sai che hanno scritto che “dato che questo oggetto segue la Terra, deve trattarsi di qualcosa di “intelligente”, una stazione orbitante aliena!!!”. E’ un troiano, in uno dei punti lagrangiani, L4 e L5″, pensai subito io leggendo quell’articolo.

    Ciao Bruce…ah, Blef e’ un allevo eccezionale (forse ne sa piu’ di me..di matematica, almeno).

    Marghian

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    • bruce ha detto:

      Ciao marghian tu mi devi leggere nel pensiero o ragioniamo allo stesso modo.
      Infatti sto scrivendo la seconda parte e guarda caso ho preso in considerazione proprio i punti L4 e L5 del sitema Terra-Luna perchè questi punti ospitano satelliti e un giorno ospiteranno fe future astronave.
      In questo momento sono sommerso da formule e formulette e non ne sono ancora uscito fuori. Per rendere la cosa facilmente comprensibile (?) o meno difficoltosa da capire la strada è più lunga e laboriosa del previsto, più di quanto potessi immaginare.

      Si, avevo letto qualcosa della ipotesi della astronave aliena, ma poi mi sono detto che cavolo ci fanno lì fermi come dei baccalà. Non ha senso.
      Bruce

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  4. MARGHIAN ha detto:

    Ciao Bruce. Un saluto a Rebecca innanzitutto, prima di scrivere di punti lagrangiani.
    Rebecca, mi ha divertito (in senso buono 🙂 ) il riferimento a “punti di sartoria”. Ciao Rebecca 🙂
    Beh, piu’ che leggerti nel pensiero “ragiono come te”- ecco, magari e’ proprio questa “convergenza di pensieri”- le forme mentis si possono somigliare come le sembianze fisiche…- a far credere nella telepatia.

    Mi sembra di ricordare, a proposito della ipotesi sulla astronave aliena, che fossero i punti L4 e L5 del sistema “terra-sole” (non credo cisi riferisse L1 o L2 perche’ si sarebbero dovuti avvicinare troppo :lol:). “Come baccalà” questa e’ bella… 🙂

    Pero’, leggere di questa teoria mi e’ servito proprio a capire che, effettivamente, una BASE ci potrebbe stare, una stazione orbitante che, nel futuro, potrebbe venir piazzata proprio li’, in uno di questi punti di equilibrio gravitazionale. Pensa, li’ si potrebbe trasportare il materiale, lasciarlo “galleggiare” ed assemblarne i pezzi, piano piano, da creare una base anche di dimensioni immense- in un futuro magari non vicinissimo.

    Una cometa passa vicino alla Terra, la si puo’ “spingere” verso uno di questi punti- non so come- e si avra’ acqua ed altri materiali a volonta’. Poi, se c’e un troiano prondo al’uso, ecco fatto-il loco si potrà prelevare del minerale utile, lassu’.

    Beh, facilmente comprensibile non e’. Io- pur non avendo studiato integrali e coso, un po’ perche’ qualcosa la so, un po’ “intuitivamente”.. ci arrivo; ad esempio in un passaggio tipo “G (Mm )/ R2 = m v elevato 2 / R “, dove mi trovo la legge del quadrato inverso (Newton) e la relazione con “m v elevato 2″(il calcolo dell’energia di un corpo in movimento) , che mi pare logica. Ciao, aspetto il tuo prossimo post (un saluto a blef 🙂

    Marghian

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  5. Sebastiano ha detto:

    Da fisico, mi sembra che non hai ben capito cosa stai facendo, perchè parti da presupposti sbagliati e arrivi alla formula (2) che è corretta. Ti consiglio di studiarti la cosa meglio e rifare tutto perchè non ha logica. I presupposti sono questi:
    1) La risultante delle forze agenti sull’asteroide è la somma fra la forza esercitata dalla terra e la forza esercitata dal sole; che vanno sottratte perchè hanno verso opposto.
    2)Questa risultante delle forze deve essere l’accelerazione centripeta corretta che deve avere l’asteroide per poter rimanere in orbita a distanza R-d con la stessa velocità angolare della terra.
    3)Possiamo anche parlare di accelerazioni invece che di forze perchè rispetto al sole, la massa della terra è trascurabile, e rispetto ai corpi celesti, la massa dell’astreroide è trascurabile.

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    • bruce ha detto:

      Mi scusi signor “fisico”, due sono le cose: o lei non ha capito nulla o non sa cosa sia una equazione di equilibrio.

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    • bruce ha detto:

      Dimenticavo questa sua astuta affermazione: “Possiamo anche parlare di accelerazioni”
      Siccome stiamo parlando di un asteroide in equilibrio sulla orbita terrestre (la terra ne ha uno), esso viaggia a velocità costante mantenendosi nella stessa posizione orbitale (sono i cosiddetti troiani). Siccome l’accelerazione è una variazione di velocità essa risulta nulla.

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      • Sebastiano ha detto:

        Niente di personale, se l’ho ferita nell’orgoglio mi dispiace, voglio solo che si trovino in giro informazioni corrette. L’articolo di wikipedia era sbagliato, con il suo stesso errore. Non so se l’autore dell’articolo ha preso spunto da lei o viceversa in ogni caso la modifica che ho proposto è stata approvata.

        Anche se il modulo della velocità del moto circolare uniforme è costante, la sua direzione continua a cambiare nel tempo, essendo sempre tangente alla traiettoria. Quindi anche se il modulo resta costante, una variazione di direzione presuppone comunque un accelerazione, chiamata accelerazione centripeta. La velocità è infatti una grandezza vettoriale: modulo, direzione, verso. Una variazione di qualunque caratteristica del vettore velocità genera accelerazione.
        Per il principio di inerzia e per la seconda legge di Newton deduciamo che se non agiscono forze/accelerazioni su un corpo, il suo moto è rettilineo uniforme, perciò, dato che il moto di un pianeta non lo è, concludiamo che deve esserci un accelerazione/forza agente sul pianeta. Tale forza risulta essere l’attrazione gravitazionale, che nel caso del sistema sole-terra, è l’attrazione gravitazionale esercitata dal sole sulla terra.

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        • bruce ha detto:

          Orgoglio? Ma dai, non so dove lei ha studiato fisica, ma da quanto leggo non conosce i principali elementi basilari della fisica. Un moto rettilineo uniforme non ha accelerazioni (dv/dt). Lei fa confusione tra velocità, accelerazione e fa confusione anche sulla accelerazione angolare e sul moto circolare uniforme. Faccia un buon ripasso. E lasci perdere l’inerzia che non c’entra assolutamente nulla con il nostro asteroide (troiani).

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  6. Sebastiano ha detto:

    Ti passo qualche link a supporto di quello che affermo e ti chiedo di fare lo stesso.
    La scienza non è un opinione.
    http://www.liceolanzafoggia.it/index.php/filemanager/download/440/
    https://it.m.wikipedia.org/wiki/Punti_di_Lagrange
    https://it.m.wikipedia.org/wiki/Moto_circolare

    Ribadisco che una variazione nella direzione del vettore velocità genera un accelerazione.
    Sperimentalmente: per far girare qualcosa intorno ad un asse, come una pallina legata ad un palo tramite un filo, serve applicare una forza costante, che in questo caso é fornita dalla tensione del filo. Questa forza è la forza centripeta e dato che F=ma, la pallina sta accelerando di accelerazione costante a=F/m.

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    • bruce ha detto:

      Spero di essere conciso e altrettanto chiaro.

      Moto rettilineo uniforme.
      Nel moto rettilineo uniforme l’accelerazione è nulla. Non essendoci accelerazione, secondo lei qual è la direzione del moto? Glielo dico io, è la direzione del vettore velocità che segue il moto rettilineo.

      Moto circolare uniforme.
      Nel moto circolare uniforme la accelerazione è ugualmente nulla. Secondo lei qual è la direzione del moto? Gliela dico io ancora una volta.
      Ancora una volta il vettore velocità è il vettore che rappresenta la direzione in cui un punto si muove lungo la sua circonferenza.
      Esso ha la direzione della tangente alla traiettoria nella posizione che il punto occupa in quell’istante, cioè perpendicolare al raggio della traiettoria circolare che passa per quel punto.
      Se il modulo della velocità tangenziale rimane sempre costante nel moto circolare uniforme quello che cambia istante per istante è solo la direzione.
      In un moto circolare uniforme il vettore velocità tangenziale mantiene costante il suo modulo lungo tutta la sua circonferenza, pertanto il corpo percorre archi uguali in tempi uguali.
      E’ quello che succede nel nostro asteroide bloccato sulla sua traiettoria che ruota con moto circolare uniforme in equilibrio con le forze che si impongono su di lui.

      Accelerazione nel moto circolare.
      Se il moto circolare non è uniforme e la “direzione della velocità cambia istante per istante” è necessario introdurre il concetto di accelerazione centripeta che interviene nella variazione di direzione del vettore velocità.
      L’accelerazione centripeta è un vettore perpendicolare alla velocità e diretta verso il centro lungo la direzione del raggio.
      Se il moto circolare non è uniforme e “il modulo del vettore velocità cambia nel tempo” allora si parlerà di accelerazione tangenziale che ha la “stessa direzione” del vettore velocità.

      In conclusione, quello che lei non “vuole” capire è che nel nostro caso stiamo parlando di “un corpo in moto circolare uniforme” in “equilibrio” con le forze che insistono su di lui.
      Non c’è nessuna pallina legata ad un filo.

      Ripeto, lei sta facendo una gran confusione tra moto circolare uniforme e moto circolare accelerato e ha poca familiarità con l’equilibrio tra le forze. Lei ha bisogno di un buon e “grande” ripasso per una corretta opinione della scienza. Senza offesa.
      Non insista.

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