Punti di Lagrange

asteroide-troiani-340x255Oggi mi va di parlare dei punti di Lagrange. Mi gira così. Ma per carità non vuole essere un insegnamento (ma forse lo è, chissà). Non ho questa volontà e pretesa, lo faccio per mia informazione e per colmare una mia lacuna in questa materia e per il mio cane che mi segue fedelmente.

In realtà ad incuriosirmi è stato un articolo di Media Inaf :  Urano ha il suo bel “troiano”.

Un “cucciolo” d’asteroide di appena 60 km di diametro, la cui fedeltà gravitazionale al gigante gassoso va avanti da qualche centinaio di migliaia di anni. Era convinzione degli astronomi che a Urano fossero preclusi, vista la concorrenza di vicini dannatamente attraenti (in termini gravitazionali) del calibro di Nettuno o Giove.
Stando alle simulazioni, QF99 dovrebbe tenere compagnia a Urano ancora per un milione di anni, prima di svincolarsi dal guinzaglio gravitazionale Li hanno Marte, Giove, Nettuno.

Anche la nostra Terra che non vuole essere seconda a nessuno ha il suo bravo “troiano”. Non è una parolaccia.

Per troiano si intende un asteroide o gruppi di asteroidi che condividono la stessa orbita di un pianeta maggiore. Senza scontrarsi.

Fantastico, penserete. Come mai?
Beh la cosa è facile da capire, ma difficile da spiegare.
In due parole (forse anche in quattro) diciamo che un corpo (un asteroide, per esempio) viene a trovarsi in equilibrio gravitazionale in determinate posizioni nello spazio tra il pianeta ed il Sole. In questi punti è nulla la risultante tra l’attrazione gravitazionale complessiva esercitata da questi due corpi celesti.
In realtà c’entrano di mezzo la forza centripeta e anche la forza di Coriolis, ma di queste ultime ne riparleremo un’altra volta.

Questi punti di equilibrio vengono chiamati “punti di Lagrange”. Sono 5: L1, L2, L3, L4, L5.
Tre di essi (L1, L2, L3) giacciono sulla stessa retta dei due corpi maggiori, uno compreso tra essi (L3) e due esterni (L4,L5). I due punti (L4, L5) sono collocati sull’orbita del pianeta di massa minore (tra i due maggiori), uno in anticipo e l’altro in ritardo di 60° rispetto a questi, le rette immaginarie che congiungono i pianeti formano quindi due triangoli equilateri.

La figura chiarisce meglio il concetto.
Lagrange

Questo è quello che dicono tutti e che troviamo su ogni sito che si rispetti – mi osserva il mio sapientone di cane – Piuttosto, se lo sai, perchè non mi dici come si fa a calcolare le posizioni di tali punti di equilibrio.

Non so se è una provocazione bella e buona, o volermi mettere alla prova. Non ho scelta. Accetto la sfida.
E così mi metto in giro per il web in cerca di aiuto. Ma trovo solo nozioni che già conoscevo o cose (calcoli matematici) che non sono alla portata di tutti e non possono essere raccontate su un blog. Così decido di andare avanti da solo con qualche spunto preso qua e là e di qualche mio vecchio libro liceale. Speriamo bene.

Il risultato non è assicurato. Gli astrofisici, comunque, sono avvisati, possono continuare ad andare avanti tranquillamente con i loro calcoli.

Ok. Il ragionamento parte da una semplice considerazione: mettere giù una espressione matematica che rappresenti l’equilibrio gravitazionale tra le masse e la forza centrifuga.

Cominciamo.
Distanza del punto L1 L1 Consideriamo il sistema formato dal Sole di massa M, la Terra di massa m e l’asteroide (o un satellite artificiale) di massa ma. Le forze che entrano in gioco sono la legge di attrazione gravitazionale e la forza centrifuga della Terra nella sua rotazione attorno al Sole.

Le due forze devono essere in equilibrio.
F1 = G (Mm ) / R2 F2 =  m v2 / R
Dove G è la costante gravitazionale universale
M = la massa del Sole
m = la massa della Terra
R = la loro distanza
v = la velocità orbitale della Terra

Quindi per l’equilibrio delle forze:
G (Mm )/ R2  = m v2 / R                      formula 1)

Fin qui ci siamo? Ok.
Ora torniamo al nostro asteroide di massa ma che ruota attorno al Sole con velocità tangenziale va.
La sua distanza dal Sole sarà (R – d)
dove d è la distanza Terra/asteroide.

La forza F1  che l’attrae verso il Sole sarà diminuita della forza esercitata dalla Terra. Mentre la forza centrifuga dell’asteroide risulta:
F2 = ma v2a / ( R- d )

Si ottiene così l’equilibrio

G (M ma ) / (R – d)2  –  G ( m ma ) / d2  = ma v2a / ( R- d )              formula 2

La distanza di equilibrio si ottiene risolvendo questa equazione di secondo grado rispetto a “d”. Gli altri valori sono noti. Basta eliminare va  inserendo il suo valore.

Troppo complicato, vero? Giusto, ve lo assicuro.
Allora  facciamo un pò di alchimia matematica. Supponiamo che l’asteroide percorra una traiettoria circolare di raggio (R – d).
Dalla cinematica la sua velocità tangenziale vale:

va = ω (R-d)
dove:  ω = 2 π / T va  =  2 π (R-d) / Ta
(Ta è il periodo orbitale dell’asteroide, ovvero l tempo impiegato a compiere una intera orbita).

Che possiamo anche scrivere elevando tutto al quadrato:
v2a = 4 π2
(R-d)2 / T2a
che sostituita nelle formula 2) otteniamo

GM ma / (R – d)2  –  Gm ma / d2  = ma v2a / ( R- d )

Con alcune semplici semplificazioni: (mettendo in comune e eliminando ma , e dividendo per (R-d), si ottiene:

GM/ (R – d)  –  Gm (R-d) / d2  =  v2a = 4 π2 (R-d)2 / T2a

Dividendo tutto per (R-d) otteniamo una cosa interessante.

GM / (R–d)3 – Gm / d2(R–d)  =  4π2 / T2a                                        formula 3)

Fin qui ci siete ancora? Bene, allora, andiamo avanti per quelli che hanno resistito e non sono scappati via. Queste cose mantengono allenata la mente.

Vi ricordate la formula 1)?
Con altri semplici  passaggi matematici che vi risparmio (che tengono conto delle formule già sopra elencate) diventa:

GM/ R =4 π2 R2 / T2

Dividiamo per R2 :

GM/ R3  = 4π2/T2                                 formula 4)

Vi dice niente questa espressione?
Per caso abbiamo trovato la somiglianza alla “terza legge di Keplero” se scambiamo i termine (T2 / R3 = K).

Ora facciamo una considerazione fondamentale.
L’asteroide è in equilibrio con la Terra soltanto se Ta = T.         ( ovvero Terra e asteroide hanno lo stesso periodo.)
La formula 3) diventa:

GM / (R–d)3 – Gm / d2(R–d)  =  4π2 / T2

Ovvero:

GM / (R–d)3 – Gm / d2(R–d)  =  GM/ R3                      formula 5)

Se dividiamo per GM otteniamo una espressione che tiene conto esclusivamente il rapporto tra la massa del Sole e quella della Terra (m/M).

Ancora un piccolo sforzo che siamo quasi vicini alla soluzione del nostro problema.
Poniamo y = m/M = 3/1·000·000     (rapporto delle loro masse)

La 5) diventa dividendo  per GM e poi moltiplicando per R3:

1 / (R–d)3 – y / d2(R–d)  =  1 / R3 R3/(R–d)3 – y R3/d2(R–d)  =  1

Facciamo un altro passo avanti ponendo z = d/R
Otteniamo la nostra equazione:

1/(1-z)3 – y/z2(1-z) = 1                                           formula 6)

Tuttavia anche questa equazione di terzo grado in funzione di z è di difficile risoluzione.
Per semplificare ulteriormente le cose sono andato a spolverare e scomodare vecchie regole sulle approssimazioni (Teoremi Binomiali).

Non commettiamo un grande errore se facciamo queste approssimazioni.
1/(1-z)3  =  1 + 3z
y/z2 (1-z) = y/z2 (1+z)

Quindi sostituendo nella formula 6)
1 + 3z  – y/z2 (1+z) = 1 3z = y/z2 (1+z) 3z3 = y(1+z)

Trascuriamo ulteriormente il piccolo valore di (1+z)
Si ottiene:

3z3 = y

Ma sappiamo che y = m/M = 3/1·000·000

Ed eccoci FINALMENTE arrivati alla conclusione.
3z3 = m/M = 3/1.000.000

z3 = 1/1.000.000

Estraendo la radice cubica:

z = 1/100 = 0,01
z = d/R = 0,01

La distanza di L1 dalla Terra è di circa un centesimo (1/100) della distanza del Sole. Ovvero approssimativamente a 15000 km di distanza dalla Terra.

FINE

Spero che il mio cane sia soddisfatto di questa dimostrazione.

Ora se qualcuno di voi, di buona volontà, ha voglia di passare un po’ di tempo può ritornare alla equazione 3z3 = y(1+z) e sostituire z con il valore trovato e ricavare y = m/M.

L2
La risoluzione dell’altra distanza lagrangiana L2 dal lato opposto alla Terra è simile e la lascio ai volenterosi. Lascio ai volenterosi anche il calcolo di L3. Risparmiatemi altre faticacce.

La prossima puntata sarà dedicata al calcolo di L4 e L5. Ma come dice un mia ex lettrice: non costringo nessuno a seguirmi. Tranne il mio cane.

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 asteroide-troiani-340x255
La terra ha un troian
Già, proprio il nostro pianeta. A condividerne l’orbita   attorno al Sole, e per l’esattezza a precederci di circa due mesi (60 gradi),   c’è 2010 TK7, questo il nome del nostro nuovo compagno di viaggio: un   asteroide dalle dimensioni di tutto rispetto – circa 300 metri – che oscilla   attorno al cosiddetto L4, uno dei punti con una particolare posizione nella   orbita chiamati lagrangiani.

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Ingegnere. Io sono responsabile di quello che dico, non di quello che capisci tu. (Massimo Troisi)
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5 risposte a Punti di Lagrange

  1. Rebecca Antolini ha detto:

    Buongiorno quando ho letto il titolo da questo post “punti di lagrange” ho pensato subito che sia un motivo dei lavori a maglia della tua moglie😆 … ma non e cosi
    ora vedo qui formule di matematica che mi fanno venire un forte ma di testa.. qui non capisco proprio niente cosi ti abbraccio e ti auguro una buona giornata😉

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  2. bruce ha detto:

    Ah ah ah te ne sono grato ugulamente cara Rebecca.
    Stiamo allestendo un sito dove metteremo anche i flmati. Per ora li abbiamo messi su una tv nel negozio per insegnare i primi “punti” per il lavoro a maglia.

    Per il post, lo so che è complicato, ma quel cagnaccio di Bleff mi ha provocato.
    Buona giornata

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  3. MARGHIAN ha detto:

    “In due parole (forse anche in quattro)🙂
    Naturalmente anche la Terra e la Luna hanno i 5 punti lagrangiani (calcolabili come sopra). Ho seguito con interesse anche i passaggi matematici, comprendendone una parte , ma quanto basta per dire che e’ interessantissimo, come i corpi celesti interagiscono fra loro; come le forse di diverso tipo -vedi gravita’ e velocita’ orbitali- creino queste meccaniche stupende.

    A proposito di “troiani”, forse non sai che hanno scritto che “dato che questo oggetto segue la Terra, deve trattarsi di qualcosa di “intelligente”, una stazione orbitante aliena!!!”. E’ un troiano, in uno dei punti lagrangiani, L4 e L5″, pensai subito io leggendo quell’articolo.

    Ciao Bruce…ah, Blef e’ un allevo eccezionale (forse ne sa piu’ di me..di matematica, almeno).

    Marghian

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    • bruce ha detto:

      Ciao marghian tu mi devi leggere nel pensiero o ragioniamo allo stesso modo.
      Infatti sto scrivendo la seconda parte e guarda caso ho preso in considerazione proprio i punti L4 e L5 del sitema Terra-Luna perchè questi punti ospitano satelliti e un giorno ospiteranno fe future astronave.
      In questo momento sono sommerso da formule e formulette e non ne sono ancora uscito fuori. Per rendere la cosa facilmente comprensibile (?) o meno difficoltosa da capire la strada è più lunga e laboriosa del previsto, più di quanto potessi immaginare.

      Si, avevo letto qualcosa della ipotesi della astronave aliena, ma poi mi sono detto che cavolo ci fanno lì fermi come dei baccalà. Non ha senso.
      Bruce

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  4. MARGHIAN ha detto:

    Ciao Bruce. Un saluto a Rebecca innanzitutto, prima di scrivere di punti lagrangiani.
    Rebecca, mi ha divertito (in senso buono🙂 ) il riferimento a “punti di sartoria”. Ciao Rebecca🙂
    Beh, piu’ che leggerti nel pensiero “ragiono come te”- ecco, magari e’ proprio questa “convergenza di pensieri”- le forme mentis si possono somigliare come le sembianze fisiche…- a far credere nella telepatia.

    Mi sembra di ricordare, a proposito della ipotesi sulla astronave aliena, che fossero i punti L4 e L5 del sistema “terra-sole” (non credo cisi riferisse L1 o L2 perche’ si sarebbero dovuti avvicinare troppo :lol:). “Come baccalà” questa e’ bella…🙂

    Pero’, leggere di questa teoria mi e’ servito proprio a capire che, effettivamente, una BASE ci potrebbe stare, una stazione orbitante che, nel futuro, potrebbe venir piazzata proprio li’, in uno di questi punti di equilibrio gravitazionale. Pensa, li’ si potrebbe trasportare il materiale, lasciarlo “galleggiare” ed assemblarne i pezzi, piano piano, da creare una base anche di dimensioni immense- in un futuro magari non vicinissimo.

    Una cometa passa vicino alla Terra, la si puo’ “spingere” verso uno di questi punti- non so come- e si avra’ acqua ed altri materiali a volonta’. Poi, se c’e un troiano prondo al’uso, ecco fatto-il loco si potrà prelevare del minerale utile, lassu’.

    Beh, facilmente comprensibile non e’. Io- pur non avendo studiato integrali e coso, un po’ perche’ qualcosa la so, un po’ “intuitivamente”.. ci arrivo; ad esempio in un passaggio tipo “G (Mm )/ R2 = m v elevato 2 / R “, dove mi trovo la legge del quadrato inverso (Newton) e la relazione con “m v elevato 2″(il calcolo dell’energia di un corpo in movimento) , che mi pare logica. Ciao, aspetto il tuo prossimo post (un saluto a blef🙂

    Marghian

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