I misteri dei muoni: parte seconda

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Da tutto lo spazio arrivano verso la terra i raggi cosmici che, appena entrano negli strati superiori dell’atmosfera, producono moltissimi muoni.
I muoni sono delle particelle instabili che “vivono” circa 2,2 microsecondi (10-6). Cioè dopo circa 2,2μs decadono, in genere in un elettrone e in una coppia di neutrini.
Il “circa” 2,2μs sta ad indicare che il fenomeno del decadimento è un fenomeno statistico, qualcuno decade in più tempo, qualcuno in meno, ma “in media” dopo un tempo t°=2,2 μs, chiamato vita media, la metà di essi è decaduta, non c’è più.

Ed ecco il problema: questi muoni sono velocissimi, la loro velocità è quasi uguale a quella della luce, è il 99,92% di quella della luce, cioè v ≅c .
Con questo dato possiamo calcolare quanto viaggiano nell’atmosfera prima di disintegrarsi. E’ facile, basta calcolarla con la formuletta s=vt.

s=3×108 m/s x 2,2×10-6s ≅ 660 m

Prima di decadere i muoni percorrono circa una distanza s=660 m . Ma sulla terra ne arrivano più della metà! E l’atmosfera ha uno spessore di circa 15 km, cioè 15’000 metri. Come fanno quindi ad arrivare sulla Terra attraversando 15’000 metri di atmosfera, se “muoiono” dopo 660 metri? Eccolo il problema! E non abbiate paura: tutti i calcoli fatti sono giusti

Da quando avete cominciato a leggere questo articolo il vostro corpo è stato attraversato da circa 5000 muoni, mentre secondo le teorie della fisica classica, cioè secondo il calcolo che abbiamo appena fatto, questo non sarebbe dovuto succedere.

Quindi? – mi domanda il mio amico cane.
Quindi – rispondo – il fatto sta nel fatto che la formuletta che abbiamo usato non va bene perchè abbiamo usato i concetti della fisica classica, che in molti casi, quando gli oggetti sono molto veloci, non funziona. Per risolvere questo problema bisogna ricorrere alla relatività. Sempre lei quando si tratta di particelle che viaggiano a velocità quasi pari a quella della luce.

A questo punto, mio caro amico a quattro zampe, devi apprestare un po’ di attenzione.
Il “tempo”, cioè la durata di un evento, non è una grandezza assoluta ed immutabile, come pensavano Newton, Galileo e tutti i fisici fino al 1905 nella meccanica classica. Nella Relatività le cose si complicano.
E’ un po’ difficile capirlo, ma lo scorrere del tempo varia se misurato da un osservatore che viaggia con l’oggetto, ovvero se l’osservatore è lo stesso muone o se l’osservatore che misura lo stesso evento è a terra. I fisici dicono che dipende dal sistema di riferimento. Si parla di relatività del tempo.
Tutto questo è valido solo se queste velocità sono molto ma molto alte, diciamo vicine alla velocità della luce (300’000 km/s). Se gli oggetti sono più lenti non ce ne accorgiamo.

Ok, fatto questo breve ripasso, andiamo avanti. Ritorniamo ai nostri muoni mentre si apprestano ad attraversare l’atmosfera.
Secondo la fisica “classica” questi muoni sulla Terra non ci dovrebbero arrivare proprio, ma in realtà ci arrivano. Non è una impressione! E’ un fatto. Perché?

raggicosmici

Relatività del tempo.
Quando il muone sta (quasi) fermo misuro una vita media di 2,2 µs. Ed anche lui (il muone) misura questa durata. Se avesse al polso un orologio fatto partire alla sua nascita, in media decadrebbe (morirebbe) quando l’orologio segna 2,2 µs.
Ma se questo muone va molto veloce, per esempio rispetto alla Terra, per me che sto sulla Terra, il tempo di decadimento “nel mio sistema”, quindi sulla Terra, è più grande, c’è una dilatazione del tempo.
Spiego.

Per un muone che viaggia ad una velocità v=0.9992c dal fattore di Lorenz ricaviamo.

fattore di Lorenz muoni

Ovvero per il muone atmosferico il tempo si dilata di circa 25 volte.
Cosa significa?
t=t° *25= 2,2*25=55 µs
significa che per me che sto sulla Terra la vita media del muone si è allungata a 55µs.

E’ facile calcolare lo spazio percorso dal muone in questo tempo.
s= v t = 3*108*55 10-16 ≅ 16km

Ecco perché molti dei muoni (circa il 40%) arrivano sulla Terra.

Il tempo, cioè la durata di un evento, è relativo al sistema in cui avviene l’evento, che lo si osservi o no.

Relatività dello spazio.
Ora mettiamoci nei panni del muone, cioè di un osservatore che stia a cavallo del muone.
Il muone, nel suo sistema, sta fermo, quindi vive 2,2 µs; come fa a giustificare il fatto che riesce ad arrivare sulla Terra?
La Relatività ci dice che una certa lunghezza L, misurata in un sistema in cui L sta ferma (per esempio lo spessore dell’atmosfera), si accorcia se la guardo da un sistema in movimento rispetto ad essa.

A questo punto ho il sospetto che il mio cane ha una gran confusione in testa. E non ha tutti i torti.
Quindi spiego meglio, anche se devo far ricorso alle formule, che comunque sono di facile comprensione.
Consideriamo L=Δx lo spazio misurato tra due punti dall’osservatore a terra nel tempo Δt.
Sia L’=Δx’ lo spazio misurato da un osservatore a cavallo del muone nel tempo Δt’.

Δx=vΔt
Δx’=vΔt’
Dove Δt=ƴΔt’

Si ricava:
Δx’=Δx/ƴ

dove ƴ=25
Per il muone l’atmosfera si è ridotta dello stesso fattore ƴ=25.
Quindi se l’atmosfera ha lunghezza Δx=15Km il muone vede lo spazio avanti a sé di

L=15000/25=600 metri.

Ecco perché, non tutti, ma una buna parte dei muoni riesce ad attraversare l’atmosfera.

Quindi per tirare le somme: dalla Terra si vede un muone con la vita più lunga, dal muone si vede l’atmosfera più corta.

Conclusione
Punto di vista della Terra
Il muone ha una vita media di 2,2 µs. Rispetto alla Terra si muove a velocità c. La sua vita media si dilata di 25 volte, diventa 55 µs e può quindi percorrere circa 16 km e molti muoni arrivano sulla Terra.
Punto di vista del muone
Il muone ha una vita media di 2,2 µs, è in movimento rispetto alla Terra e all’atmosfera, che vede “accorciata” di un fattore 25, quindi la vede spessa circa 600 m e in media molti muoni riescono ad attraversarla e ad arrivare sulla Terra

Lo so che la cosa è dura da accettare, ma le cose stanno così.

Il mio cane che è rimasto in silenzio finora, mi guarda e mi domanda: se i muoni ci arrivano addosso ad una velocità quasi uguale a quella della luce, come si fa a dire che da fermo decadoni in media in 2.2 µs?

Non mi chiedere troppo caro amico.

(bibliografia: Carlo Cosmelli, Dipartimento di Fisica, Sapienza Università di Roma)

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Informazioni su bruce

Ingegnere. Io sono responsabile di quello che dico, non di quello che capisci tu. (Massimo Troisi)
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4 risposte a I misteri dei muoni: parte seconda

  1. Renzo Dal Grande ha detto:

    interessante bruce , continua

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  2. Complimenti, il tuo blog è una miniera di post interessanti anche per quelli come me che non si occupano di astrofisica. Ciao.

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