I punti di Lagrange – parte seconda: L4, L5

LagrangeI punti lagrangiani L1, L2, L3, giacciono sulla stessa retta che unisce la Terra al Sole. Uno di essi, L3, si trova sulla linea Terra-Sole, ma dall’altra parte del Sole, più o meno alla stessa distanza dalla Terra.

Gli altri due punti lagrangiani, L4 e L5, giacciono sull’orbita della Terra.
L4 precede il nostro pianeta di un angolo di sessanta gradi mentre L5 lo segue dalla stessa distanza.

Nei primi punti l’equilibrio è instabile.
Cosa vuol dire?
Che basta una spintarella ed ecco che gli eventuali asteroidi o satelliti posizionati in quella orbita se ne vanno per i fatti loro. Per fare un esempio basti pensare ad una automobile ferma su un dosso. Basta una spintarella e se ne va giù per la discesa.
Mentre se l’automobile è in fondo alla cunetta anche se la spingi a mano poi ritorna a fondo cunetta, che è la posizione di equilibrio. E’ quello che succede ai punti L4, L5 che sono punti di equilibrio stabile.

Nel precedente post abbiamo calcolato il punto di equilibrio di L1.
Il calcolo dei punti lagrangiani L4, L5 è molto più complicato del previsto. Mannaggia a me che ho accettato la provocazione del mio cane. E così ora non mi posso tirare indietro.

Anche in questo caso ci sono spiegazioni teoriche che sono assolutamente improponibili.
Così decido di fare da me.

Come ho detto, il problema è complicato (ma non per qesto impossibile).
Il fatto è che precedentemente avevamo a che fare con le sole distanze. Ora, basta guardare la figura in basso: ci sono di mezzo gli angoli.
Bel problema per spiegarlo a coloro che hanno dimenticato la geometria dei triangoli o non hanno familiarità con angoli, seni, coseni, radianti, con la trigonometria per dirla con chiarezza.

Cercherò di rendere la cosa più semplice possibile (se ci riesco) a coloro che hanno il bel coraggio di seguirmi. Il mio cane lo fa per vedere cosa tiro fuori, quindi costretto.

Ok.
Anche il sistema Terra-Luna ha i suoi punti L4 e L5.
Essi sono punti di interesse per possibili punti di stazionamento di navicelle o colonie spaziali permanenti in orbita.
E così con il permesso del mio cane prendo in considerazione il sistema Terra-Luna-Navicella (che sostituisce il nostro asteroide per evidenti motivi di maggiore interesse).

Cominciamo.
Come prima cosa facciamoci un quadro preciso della situazione.

L4

figura 1)

Nel caso del punto L1, come abbiamo visto, l’equilibrio si otteneva in corrispondenza del punto E, che non era altro che il centro di massa o baricentro delle forze e giaceva sulla retta congiungente Terra Sole.
Le cose sono andate avanti più o meno bene cavandocela con le normali regole della fisica classica.

Ora il fatto che il punto C stia ai vertici di un triangolo complica le cose. Ma tranquilli, ce la caveremo.
Intanto ci calcoliamo le coordinate del baricentro delle forze (attorno al quale ruota il nostro sistema) con una regoletta facile facile (momento statico delle forze). I conti li faccio io per voi:

poniamo k = M/m
AE = d = L m / (m+M) = L m / (m + M) = L/(1+k)
BE = c = L M /(m+M) = L M / (m + M) = L / (1+m/M) = L/(1+1/k) = Lk/(1+k)
L = distanza Luna Terra
M = massa della Terra
m = massa della Luna
ma = massa dell’astronave

FORZE IN CAMPO
Vediamo quali sono le forze in campo.
FT =  forza gravitazionale della Terra
FL =  forza gravitazionale della Luna
F’T = forza centrifuga della Terra
F’L = forza centrifuga della Luna
F’a = forza centrifuga della astronave

Ora il problema sta nel dimostrare che le lunghezze a, b, c+d (L) sono uguali, che equivale a dire che il triangolo è equilatero e di conseguenza gli angoli in A,B,C sono effettivamente di 60° (ricordiamo che la somma degli angoli interni è di 180°).

Prima osservazione:
Se l’astronave in C è in equilibrio con il sistema, tutti e tre i corpi avranno lo stesso periodo orbitale T attorno al centro di massa.

FORZE AGENTI SULLA ASTRONAVE
FT = G Mma /a2            (esercitata dalla Terra)                                                        formula 1)
FL = G mma / b2           (esercitata dalla Luna)                                                        formula 2)

FORZE DI MUTUA ATTRAZIONE TERRA – LUNA
FTL = G Mm /L2                                                                                                             formula 3)

FORZA CENTRIFUGA DELLA TERRA (attorno al punto E, centro di rotazione)
F’T = MaT = M V2 /d= M (2πd/T)2 /d = M4π2d/T2  = M4π2 /T2 d
F’T =  M4π2 /T2*L/(1+k)                                                                                               formula 4)
Dove
V è la sua velocità radiale con periodo T.
aT = 4π2 /T2*L/(1+k)                                                                                                  formula 5)
Ma anche:
F’T = M aT
Da cui
aT = F’T / M = (G Mm/L2)/ M = Gm/L2
aT = Gm/L2                                                                                                                  formula 6)

uguagliando la 5) e 6)
Gm/L2 = = 4π2 /T2*L/(1+k)
2 /T2 = (Gm/L3 ) (1+k)                                                                                         formula 7)

FORZA CENTRIFUGA DELLA LUNA (attorno al punto E, centro di rotazione)
F’L = m v2 /c = m (2πc/T)2 /c = m4π2 /T2 c
F’L = m4π2 /T2*kL/(1+k)
Dove v è la sua velocità radiale con periodo T.

Ma anche
F’L = m aL
aL = 4π2 /T2*kL/(1+k)

FORZA CENTRIFUGA DELL’ASTRONAVE (attorno al punto E, centro di rotazione)
F’a = ma va2/R
F’a = ma (2πR/T)2 /R = ma2 R/T2                                                                           formula 8)

Dove va è la sua velocità radiale con periodo T.

Ma anche
F’a = ma  aa = ma (4π2/T2) R

Che sostituendo la 7)
F’a = G m ma (1+k)R / L3                                                                                            formula 9)

FORZE RISULTANTI SULL’ASTRONAVE
FT = G Mma /a2
FL = G mma / b2
F’a = G m ma (1+k)R / L3

Seconda osservazione.

Affinché l’astronave risulti in equilibrio è necessario che la risultante della forza FT  della Terra verso l’astronave e la forza FL della Luna verso l’astronave devono essere equilibrate nel punto C. In linguaggio matematico le loro proiezioni lungo il segmento  che unisce il centro di massa E  all’astronave C devono essere uguali.

Inoltre anche nel punto E le forze radiali della Terra e della Luna devono equilibrarsi.
Come tradurre in formule tutto questo?
Ci vengono in aiuto nuovamente le leggi gravitazionali, la cinematica e infine la matematica sugli angoli.

Ricordiamo alcune relazioni tra angoli e lati in un triangolo
triangoloh=b senA
h=a senB

b senA = a senB =c senC
senA/a = senB/b = senC/c

Um! lo sapevo, qualcuno di voi ha storto il naso.
Niente paura. Intanto si leggono seno di A, seno di B, seno di C. Dove A,B,C, sono gli angoli al vertice del triangolo. Più in basso parleremo anche di coseno di un angolo.

Quelle cosine che vi spaventano non sono altro che un modo per ridurre le misure (grandezze). Una specie di percentuale in forma decimale. Insomma un numero che varia da 0 a 1.
A cosa servono?
A mettere in relazione tra loro i lati di un triangolo in funzione degli angoli.

Guardiamo la figura 2)

L4

figura 2)

E’ nell’uso matematico chiamare gli angoli con simboli greci.
Quindi leggeremo seno di alfa ‘α’, seno di beta ‘β’, seno di theta ‘θ’.

Per l’equilibrio delle forze tangenziali a F’a nel punto C lungo l’asse di rotazione:

FT senα = FL senβ                                                                                                      formula 10)
Inoltre
senθ/b=senβ/c          da cui      senβ=senθ c/b
senα/d=senθ/a                           senα=senθ d/a

che sostituite nella 10)
FT senθ d/a = FL senθ c/b
FT  d/a = FL  c/b
GMma /a2 (d/a) = Gmma /b2 (c/d)
M d /a3 = m c /b3

Sostituendo le distanze del centro di massa
M/a3 * L/(1+k) = m/b3 * Lk/1+k)

Semplificando e sostituendo K=M/m
1/a3 = 1/b3

Quindi
a = b
Il triangolo ABC è dunque un triangolo isoscele con due lati (a,b) e angoli alla base uguali.

Ok a tutti quelli che sono arrivati fin qui.


Ora per dimostrare che il triangolo ABC è equilatero, l’angolo al vertice deve essere uguale agli angoli di base (Ovvero di 60°).
E’ la stessa cosa dimostrare che i tre lati sono uguali. Seguiremo questa strada.

Dimostriamo questa seconda parte, e per farlo imponiamo l’equilibrio radiale.

L4bis

FTa cosα = FLa cosβ=Fa = ma v2/R = G m ma (1+k)R / L3
FTa cosα = FLa cosβ=Fa = G m ma (1+k)R / L3                                          formula 12)

Dove:
FTa .= GMma/a2
FLa = Gmma/a2
K = M/m
GMma/a2 cosα
M/a2cosα = m/a2 cosβ = m(1+k)R/L3
k/a2cosα = 1/a2 cosβ = (1+k)R/L3
v è la velocità radiale della astronave.

Ma sappiamo anche
L/2 = a cosα
cosα= L/2a

Dalle regole sui triangoli:
d2 = a2 + R2 – 2aRcosα                                 espressione I)
c2 = a2 + R2 – 2aRcosβ                                  espressione II)
R2 = (a2 + d2)k / (1+k)2                                 espressione III)

EQUILIBRIO RADIALE
FTa cosα + FLa cosβ = F’a
GMma/a2 cosα + Gmma/a2 cosβ = G m ma (1+k)R / L3
M/a2 cosα + m/a2 cosβ = m(1+k)R / L3
km/a2 cosα + m/a2 cosβ = m(1+k)R / L3
k/a2 cosα + 1/a2 cosβ = (1+k)R / L3

k/a2 cosα + 1/a2 cosβ – (1+k)R / L3 = 0                                             formula 13)

Siamo praticamente alla fine, tirate un sospiro di sollievo.

Sostituiamo nella formula 13) i valori del cosα e cosβ e R dalle espressioni I) II) e III)
(vi risparmio i calcoli troppo lunghi, complessi e noiosi, fidatevi).

Si arriva ad una espressione uguagliando a zero l’equazione:
[(1+k)2 a2 –kL2)(a3-L3)] = 0

Questa espressione è uguale a zero solo se:

a3 – L3 =0

ovvero
a=L
I tre lati del triangolo sono uguali
Gli angoli sono pertanto di  60°.

FINE

Questa dimostrazione farà storcere il naso  agli astrofisici, ma sicuramente è più intuitiva e alla portata di un semplice lettore piuttosto dei calcoli matriciali.


Informazioni su bruce

Ingegnere. Io sono responsabile di quello che dico, non di quello che capisci tu. (Massimo Troisi)
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5 risposte a I punti di Lagrange – parte seconda: L4, L5

  1. MARGHIAN ha detto:

    Ciao Bruce. per le formule ci daro’ una guardatina piu’ attenta- considera pero’ che molte cose non le ho studiate…-.
    Ho intuito, comunque, che ci sono in gioco anche forze “a noi piu’ familiari”, comead esempio la forza centrifuga ( di M, m e di m1, m2. (gli oggetti “bloccati” nei punti “stabili” L4 e L 5).
    Ciao.

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    • bruce ha detto:

      Ciao marghian, infatti la cosa che più mi premeva era mettere in evidenza il cuore del ragionamento.
      Per prima cosa che il sistema ruotava attorno ad un baricentro (o centro di massa).
      Poi le forze in gioco e il loro equilibrio.
      Ma per scrivere le equazioni di equilibrio le forze devono esser scomposte (o proiettate) lungo delle direzione. Nel nostro caso secondo due direzioni ben precise.

      Per fare questo purtroppo si deve far ricorso necessariamente alla trigonometria, perchè entrano in gioco le relazioni fra forze ed angoli. Poi, siccome le forze possiamo assimilarle ai lati di un triangoli allora si sfruttano le relazioni tra lati ed angoli.
      Il resto sono solo calcoli più o meno laboriosi, basta non perdercisi dentro, come mi è successo spesso e sono dovuto ricominciare da capo.
      Ma alla fine credo di aver vinto la scommessa con Bleff.
      Quando un tuo nuovo post?
      Bruce

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  2. MARGHIAN ha detto:

    Ciao Bruce. Io mio prossimo post? Non riesco a fare un pronostico /non considerando i posts facili come una canzone od un brano strumentale/. Per il prossimo…Post, vedremo🙂

    Anche a me (non immaginarmi li’ a fare equazioni, pensa alla cosa piu’ in generale..) “preme” mettere in evidenza il cuore di un ragionamento. Chiaramente tu hai fatto benissimo (considera anche il “de gustibus” culturale”, e cioe’ che a me, per fare un esempio, ^piaccioono la matematica e le materie scientifiche….). Mi sembra logico (ma inportante evidenziare) che quando ci sono in gioco delle forse occorre considerarne le direzioni e le distribuzioni “geometriche” di tali forze.

    Bleff ti mette pareccio alla prova😆 Ciao.

    Marghian

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    • bruce ha detto:

      Non riesco a fare un pronostico”
      Quindi 12X😆😆

      A dire il vero caro marghian questi post sui punti di Lagrange e relative dimostrazioni li ho voluti fortemente. Come un atto di forza. La dimostrazione della forza della fisica sulle parole. Del concreto sul teorico (le parole anche se scritte sulla pietra sono solo parole, dice un mio amico).

      La decisione mi è arrivata dopo aver letto molti post altrui in cui si fa filosofia casareccia, dove si discute su tutto e sul niente.

      Mi ricordo un aneddoto letto da qualche parte dove una porfessoressa liceale di fisica diceva: “I filosofi del futuro saranno i fisici”
      E la professoressa di filosofia rispondere: “i filosofi del futuro saranno i più fortunati della storia grazie alle scoperte dei fisici”.
      Ciao

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  3. MARGHIAN ha detto:

    Ciao Bruce. Eh, la filosofia… era anche scienza, naturalmente la scienza di allora (smentita in gran parte dalla scienza di oggi). Era la scienza, Ipazia-scienziata del terzo secolo dopo Cristo era una filosofa. “Filosofia” in fondo significa “amore per la sapienza”. Ecco che Aristotele valuto’ la rotondita’ della Terra con metodo scientifico (se una nave, allontanandosi, sembra affondare fino a vedersi solo la punta della vele, allora la supeficio del mare e’ curva, e la Terra e’ sferica..).

    Diciamo che c’e poi filosofia e filosofia. Chi, magari con la fantasia, immagina cose logiche poi verificate dall’esperienza, e’ un buon filosofo (e sarebbe anche un bravo scienziato).

    Chi invece costruisce impalcature intellettuali fini a se’ stesse, non e’ un buon filosofo o, meglio dire, e’ un filosofo come lo si intende oggi, ” uno che fa’ della filosofia”.

    Comunque hai ragione. Un aforisma non ricordo di chi dice :”e’ la scienza che ha reso grande Dio, non la religione”.
    “Se per “essere religioso’ intendete contemplare e penetrare i misteri del cosmo, allora si’, io sono profondamente religioso”-Einstein-. Ciao.

    Marghian

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