Quaternioni e numeri immaginari.

Non sapevo della esistenza dei quaternioni fin quando dopo aver sbattuto il naso davanti ad un articolo, a due articoli, anzi a tre articoli, ho deciso di capirci qualcosa.
C’hanno a che fare coi numeri complessi.

Che roba è?
E’ l’estensione a quattro dimensioni dei numeri complessi a due dimensioni. Sono detti anche numeri ipercomplessi.

Tutto chiaro? No? Buio completo come prima?
E poi a che cosa serviranno?
Sinceramente non lo so,  scoprirò tutto man mano che prendo informazioni. Ma prima di andare avanti mi do una rinfrescatina sui numeri complessi, quelli con i quali abbiamo dovuto parecchio a che fare nel corso dei nostri studi.

Numeri complessi.
Complessi non vuol dire che sono numeri complicati (o forse lo sono, non so, dipende). Si chiamano complessi i numeri formati da una parte immaginaria e da una parte reale.

(a + ib)

Cosa sono i numeri immaginari?
Giusto.

Per capire non parto da una spiegazione matematica, ma diciamo Einteniana per rendere la cosa più divertente.
Cosa c’entra Einstein? Aspettate.

La famosa formuletta – E = m c² – per una massa in movimento con velocità “v” prossima a quella della luce “c”, diventa con la correzione (fattore) di Lorenz:

 

 

dove

è la massa relativista.

Bene, per v>c la radice di quest’ultima diventa negativa: 1 – v²/c² < 1 = -b
il denominatore diventa:

dove b è il valore del radicando.

Se chiamiamo
che equivale a dire  i² = -1
ecco che abbiamo inventato un numero immaginario.

Ora torniamo alla nostra massa relativista ‘m’:

ovvero
m² = – m₀² /b

Conclusione (di questo ragionamento quasi demenziale):
A velocità v>c la massa diventa negativa, una massa immaginaria.
Nel momento in cui la massa raggiunge la velocità delle luce diventa improvvisamente immaginaria facendo comparire le famose particelle “virtuali” chiamate tachioni, di massa immaginaria per l’appunto, che viaggerebbero indisturbate nell’universo.

In realtà i numeri immaginari servono a risolvere equazioni di questo tipo:
x² + 1 = 0
x² = – 1

x = i
una soluzione immaginaria, per l’appunto.

Più in generale i numeri immaginari servono a risolvere tutte le equazioni di secondo grado.
ax² + bx +c = 0
quando
b² – 4ac < 0
che da soluzioni immaginarie (come è noto agli studenti delle scuole medie superiori).

Come si vede in fin dei conti questi numeri immaginari tanto complessi poi non sono.

A cosa servono?
Non a fare i conti della spesa.
Lo studio dei numeri complessi trova impiego nella matematica, fisica, ingegneria.
In ingegneria elettrotecnica (faccio un po’ di campanilismo) servono a rappresentare gli sfasamenti delle correnti nei circuiti capacitivi e induttivi rispetto alle tensioni (vi risparmio la spiegazione).

Chiarito alla meglio e peggio cosa sono i numeri immaginari, andiamo avanti aggiungendo qualche informazione in più.
I numeri immaginari apparvero in matematica per la prima volta quando nel Cinquecento vennero scoperte le formule per risolvere le equazioni di terzo e quarto grado.
Queste formule, in alcuni casi, richiedevano di estrarre radici quadrate di numeri negativi.

Sicuramente però non poteva esistere la radice quadrata di un numero negativo! Tutti sapevano che il quadrato di un numero positivo è positivo, e il quadrato di un numero negativo è comunque positivo. Il guaio è che questi numeri uscivano fuori quando l’equazione aveva non una ma addirittura tre soluzioni possibili, e quindi il problema c’era eccome.
Essendo i matematici persone molto pratiche, essi decisero di far finta che quei numeri si comportassero come quelli usuali; tanto – dicevano – nel corso del procedimento di calcolo della soluzione, prima o poi, essi ci facevano il favore di eliminarsi a vicenda per ottenere il risultato finale di un numero reale.

Da lì in poi i matematici si addormentarono per due secoli dando poca importanza ai numeri immaginari. Fintanto che qualcuno più arguto degli altri – Gauss – (c’è sempre qualcuno più arguto) face una osservazione tanto geniale quanto ovvia.
Su una retta, con origine zero, che va in una direzione (verso destra per esempio) il corrispondente numero negativo di un numero positivo si trova esattamente dall’altra parte (verso sinistra) della retta. Dalla parte negativa.
Significa che questo numero ha subito una rotazione in senso antiorario di 180 gradi.

Ed ecco l’intuizione.
La radice quadrata di −1 dovrebbe essere qualcosa che applicata due volte dà una rotazione di 180 gradi: il candidato ideale è una rotazione di 90 gradi. E questo è il numero immaginario, infatti i moltiplicato per sé stesso (una sola volta) fa 1, moltiplicato due vole fa -1. Quindi possiamo immaginarlo come un numero che ruota di 90°.
(i⁰ = 1, i¹ = i, i² = -1, i³ = (i² * i) = -i, i⁴ = 1, …)

Quaternioni.
Questa corrispondenza tra numeri complessi e punti del piano, e tra operazioni tra i numeri complessi e trasformazioni geometriche del piano, ha portato a un altro fruttuoso risultato.
Se dunque la retta corrisponde ai numeri reali e il piano ai numeri complessi, non è che ci possano essere dei numeri che corrispondano allo spazio?

Naturalmente questi numeri devono avere tre componenti distinte, proprio come i reali monodimensionali ne hanno una e i complessi bidimensionali ne hanno due (i numeri complessi sono nella forma bidirezionale, a+ib).

Il grande matematico irlandese William Rowan Hamilton dopo essersi trapanato il cervello per anni, introduce i suoi quaternioni. Una estensione a quattro dimensioni dei numeri complessi a due dimensioni.

q= a+ib+jc+kd

che gode delle seguenti proprietà:

Non ci vedete niente? No?
Tranquilli. Nemmeno io, ma leggendo qua e là qualcosa ho capito.

Intanto diciamo che a,ib, jc, kd sono anche loro numeri complessi.
L’idea è questa. In uno spazio planare, per individuare un punto, si danno la distanza r dall’origine e l’angolo θ rispetto a una retta di partenza.
Nello spazio non basta avere la distanza dall’origine e due angoli: ce ne vogliono tre. E i quaternioni “q” forniscono una notazione matematica per la rappresentazione di orientamenti e rotazioni di oggetti in tre dimensioni.
Non vi sto a spiegare come, perché non mi ci sono nemmeno voluto mettere a capire  i tanti i passaggi matematici e le similitudini con le matrici di rotazione. C’è, tanto per dare un esempio, la similitudine alle matrici di Pauli per la descrizione dello spin degli elettroni.
La conferma che i quaternioni rappresentano la rotazione di oggetti in tre dimensioni.

In conclusione i numeri complessi a due dimensioni rappresentano una rotazione in un campo bidimensionale (ne abbiamo parlato poco sopra). I quaternioni con l’aggiunta di altri 3 numeri immaginari e per le loro proprietà forniscono una rotazione nello spazio.

Per semplificare e sbrogliare questa complicata matassa,  i quaternioni trovano un’importante applicazione nella modellizzazione delle rotazioni dello spazio.
Che non altro è che la rappresentazione di orientamenti e rotazioni di oggetti in tre dimensioni attorno ad un punto detto centro di istantanea rotazione.

A cosa servono allora?
Per questo motivo i quaternioni sono ampiamente usati nella fisica teorica (nella teoria della relatività e nella meccanica quantistica) e in settori più applicati, come la computer grafica 3D e la robotica (per individuare la posizione spaziale dei bracci meccanici a più snodi).

Scusa padrone – interviene il mio cane che faceva finta di dormire sotto la scrivania – non era più semplice scrive solo queste ultime quattro righe e ci avresti risparmiato tutto questo sbrodolamento?

Alle volte odio il mio cane.

---

ritorna a Fisica e Astrofisica

ritorna alla Home Page