I punti di Lagrange – parte seconda: L4, L5

I punti lagrangiani L1, L2, L3, giacciono sulla stessa retta che unisce la Terra al Sole. Uno di essi, L3, si trova sulla linea Terra-Sole, ma dall’altra parte del Sole, più o meno alla stessa distanza dalla Terra.

Gli altri due punti lagrangiani, L4 e L5, giacciono sull’orbita della Terra.
L4 precede il nostro pianeta di un angolo di sessanta gradi mentre L5 lo segue dalla stessa distanza.

Nei primi punti l’equilibrio è instabile.
Cosa vuol dire?
Che basta una spintarella ed ecco che gli eventuali asteroidi o satelliti posizionati in quella orbita se ne vanno per i fatti loro. Per fare un esempio basti pensare ad una automobile ferma su un dosso. Basta una spintarella e se ne va giù per la discesa.
Mentre se l’automobile è in fondo alla cunetta anche se la spingi a mano poi ritorna a fondo cunetta, che è la posizione di equilibrio. E’ quello che succede ai punti L4, L5 che sono punti di equilibrio stabile.

Nel precedente post abbiamo calcolato il punto di equilibrio di L1.
Il calcolo dei punti lagrangiani L4, L5 è molto più complicato del previsto. Mannaggia a me che ho accettato la provocazione del mio cane. E così ora non mi posso tirare indietro.

Anche in questo caso ci sono spiegazioni teoriche che sono assolutamente improponibili.
Così decido di fare da me.

Come ho detto, il problema è complicato (ma non per qesto impossibile).
Il fatto è che precedentemente avevamo a che fare con le sole distanze. Ora, basta guardare la figura in basso: ci sono di mezzo gli angoli.
Bel problema per spiegarlo a coloro che hanno dimenticato la geometria dei triangoli o non hanno familiarità con angoli, seni, coseni, radianti, con la trigonometria per dirla con chiarezza.

Cercherò di rendere la cosa più semplice possibile (se ci riesco) a coloro che hanno il bel coraggio di seguirmi. Il mio cane lo fa per vedere cosa tiro fuori, quindi costretto.

Ok.
Anche il sistema Terra-Luna ha i suoi punti L4 e L5.
Essi sono punti di interesse per possibili punti di stazionamento di navicelle o colonie spaziali permanenti in orbita.
E così con il permesso del mio cane prendo in considerazione il sistema Terra-Luna-Navicella (che sostituisce il nostro asteroide per evidenti motivi di maggiore interesse).

Cominciamo.
Come prima cosa facciamoci un quadro preciso della situazione.

figura 1)

Nel caso del punto L1, come abbiamo visto, l’equilibrio si otteneva in corrispondenza del punto E, che non era altro che il centro di massa o baricentro delle forze e giaceva sulla retta congiungente Terra Sole.
Le cose sono andate avanti più o meno bene cavandocela con le normali regole della fisica classica.

Ora il fatto che il punto C stia ai vertici di un triangolo complica le cose. Ma tranquilli, ce la caveremo.
Intanto ci calcoliamo le coordinate del baricentro delle forze (attorno al quale ruota il nostro sistema) con una regoletta facile facile (momento statico delle forze). I conti li faccio io per voi:

poniamo k = M/m
AE = d = L m / (m+M) = L m / (m + M) = L/(1+k)
BE = c = L M /(m+M) = L M / (m + M) = L / (1+m/M) = L/(1+1/k) = Lk/(1+k)
L = distanza Luna Terra
M = massa della Terra
m = massa della Luna
m_a = massa dell’astronave

FORZE IN CAMPO
Vediamo quali sono le forze in campo.
F_T =  forza gravitazionale della Terra
F_L =  forza gravitazionale della Luna
F’_T = forza centrifuga della Terra
F’_L = forza centrifuga della Luna
F’_a = forza centrifuga della astronave

Ora il problema sta nel dimostrare che le lunghezze a, b, c+d (L) sono uguali, che equivale a dire che il triangolo è equilatero e di conseguenza gli angoli in A,B,C sono effettivamente di 60° (ricordiamo che la somma degli angoli interni è di 180°).

Prima osservazione:
Se l’astronave in C è in equilibrio con il sistema, tutti e tre i corpi avranno lo stesso periodo orbitale T attorno al centro di massa.

FORZE AGENTI SULLA ASTRONAVE
F_T = G Mm_a /a²            (esercitata dalla Terra)                                                        formula 1)
F_L = G mm_a / b²           (esercitata dalla Luna)                                                        formula 2)

FORZE DI MUTUA ATTRAZIONE TERRA – LUNA
F_TL = G Mm /L²                                                                                                             formula 3)

FORZA CENTRIFUGA DELLA TERRA (attorno al punto E, centro di rotazione)
F’_T = Ma_T = M V² /d= M (2πd/T)² /d = M4π2d/T²  = M4π² /T² d
F’_{T =}  M4π² /T²*L/(1+k)                                                                                               formula 4)
Dove
V è la sua velocità radiale con periodo T.
a_T = 4π² /T²*L/(1+k)                                                                                                  formula 5)
Ma anche:
F’_T = M a_T
Da cui
a_T = F’_T / M = (G Mm/L²)/ M = Gm/L²
a_T = Gm/L²                                                                                                                  formula 6)

uguagliando la 5) e 6)
Gm/L² = = 4π² /T²*L/(1+k)
4π² /T² = (Gm/L³ ) (1+k)                                                                                         formula 7)

FORZA CENTRIFUGA DELLA LUNA (attorno al punto E, centro di rotazione)
F’_L = m v² /c = m (2πc/T)² /c = m4π² /T² c
F’_L = m4π² /T²*kL/(1+k)
Dove v è la sua velocità radiale con periodo T.

Ma anche
F’_L = m a_L
a_L = 4π² /T²*kL/(1+k)

FORZA CENTRIFUGA DELL’ASTRONAVE (attorno al punto E, centro di rotazione)
F’_a = m_a v_a²/R
F’_a = m_a (2πR/T)² /R = m_a 4π² R/T²                                                                           formula 8)

Dove v_a è la sua velocità radiale con periodo T.

Ma anche
F’_a = m_a  a_a = m_a (4π²/T²) R

Che sostituendo la 7)
F’_a = G m m_a (1+k)R / L³                                                                                            formula 9)

FORZE RISULTANTI SULL’ASTRONAVE
F_T = G Mm_a /a²
F_L = G mm_a / b²
F’_a = G m m_a (1+k)R / L³

Seconda osservazione.

Affinché l’astronave risulti in equilibrio è necessario che la risultante della forza F_T  della Terra verso l’astronave e la forza F_L della Luna verso l’astronave devono essere equilibrate nel punto C. In linguaggio matematico le loro proiezioni lungo il segmento  che unisce il centro di massa E  all’astronave C devono essere uguali.

Inoltre anche nel punto E le forze radiali della Terra e della Luna devono equilibrarsi.
Come tradurre in formule tutto questo?
Ci vengono in aiuto nuovamente le leggi gravitazionali, la cinematica e infine la matematica sugli angoli.

Ricordiamo alcune relazioni tra angoli e lati in un triangolo
h=b senA
h=a senB

b senA = a senB =c senC
senA/a = senB/b = senC/c

Um! lo sapevo, qualcuno di voi ha storto il naso.
Niente paura. Intanto si leggono seno di A, seno di B, seno di C. Dove A,B,C, sono gli angoli al vertice del triangolo. Più in basso parleremo anche di coseno di un angolo.

Quelle cosine che vi spaventano non sono altro che un modo per ridurre le misure (grandezze). Una specie di percentuale in forma decimale. Insomma un numero che varia da 0 a 1.
A cosa servono?
A mettere in relazione tra loro i lati di un triangolo in funzione degli angoli.

Guardiamo la figura 2)

figura 2)

E’ nell’uso matematico chiamare gli angoli con simboli greci.
Quindi leggeremo seno di alfa ‘α’, seno di beta ‘β’, seno di theta ‘θ’.

Per l’equilibrio delle forze tangenziali a F’_a nel punto C lungo l’asse di rotazione:

F_T senα = F_L senβ                                                                                                      formula 10)
Inoltre
senθ/b=senβ/c          da cui      senβ=senθ c/b
senα/d=senθ/a                           senα=senθ d/a

che sostituite nella 10)
F_T senθ d/a = F_L senθ c/b
F_T  d/a = F_L  c/b
GMm_a /a2 (d/a) = Gmm_a /b2 (c/d)
M d /a³ = m c /b³

Sostituendo le distanze del centro di massa
M/a³ * L/(1+k) = m/b³ * Lk/1+k)

Semplificando e sostituendo K=M/m
1/a³ = 1/b³

Quindi
a = b
Il triangolo ABC è dunque un triangolo isoscele con due lati (a,b) e angoli alla base uguali.

Ok a tutti quelli che sono arrivati fin qui.

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Ora per dimostrare che il triangolo ABC è equilatero, l’angolo al vertice deve essere uguale agli angoli di base (Ovvero di 60°).
E’ la stessa cosa dimostrare che i tre lati sono uguali. Seguiremo questa strada.

Dimostriamo questa seconda parte, e per farlo imponiamo l’equilibrio radiale.

F_Ta cosα = F_La cosβ=F_a = m_a v²/R = G m m_a (1+k)R / L³
F_Ta cosα = F_La cosβ=F_a = G m m_a (1+k)R / L³                                          formula 12)

Dove:
F_Ta .= GMm_a/a²
F_La = Gmm_a/a²
K = M/m
GMm_a/a² cosα
M/a²cosα = m/a² cosβ = m(1+k)R/L³
k/a²cosα = 1/a² cosβ = (1+k)R/L³
v è la velocità radiale della astronave.

Ma sappiamo anche
L/2 = a cosα
cosα= L/2a

Dalle regole sui triangoli:
d² = a² + R² – 2aRcosα                                 espressione I)
c² = a² + R² – 2aRcosβ                                  espressione II)
R² = (a² + d²)k / (1+k)²                                 espressione III)

EQUILIBRIO RADIALE
F_Ta cosα + F_La cosβ = F’_a
GMma/a² cosα + Gmma/a² cosβ = G m m_a (1+k)R / L³
M/a² cosα + m/a² cosβ = m(1+k)R / L³
km/a² cosα + m/a² cosβ = m(1+k)R / L³
k/a² cosα + 1/a² cosβ = (1+k)R / L³

k/a² cosα + 1/a² cosβ – (1+k)R / L³ = 0                                             formula 13)

Siamo praticamente alla fine, tirate un sospiro di sollievo.

Sostituiamo nella formula 13) i valori del cosα e cosβ e R dalle espressioni I) II) e III)
(vi risparmio i calcoli troppo lunghi, complessi e noiosi, fidatevi).

Si arriva ad una espressione uguagliando a zero l’equazione:
[(1+k)² a² –kL²)(a³-L³)] = 0

Questa espressione è uguale a zero solo se:

a³ – L³ =0

ovvero
a=L
I tre lati del triangolo sono uguali
Gli angoli sono pertanto di  60°.

FINE

Questa dimostrazione farà storcere il naso  agli astrofisici, ma sicuramente è più intuitiva e alla portata di un semplice lettore piuttosto dei calcoli matriciali.

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